Trigonometria no triângulo Retângulo

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo B.A.C com lados medindo a, b e c.

Seno B = b/a
Cosseno B = c/a
Tangente B = b/c

Seno C = c/a
Cosseno C = b/a
Tangente C = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

consequências do teorema de tales

Conseqüência:
Sempre que houver uma paralela a um lado de um triângulo, que interrompe os outros dois lados, essa paralela irá estabelecer sobre eles pares de segmentos correspondentes e proporcionais.

Vejamos:

PRÉ REQUISITOS: TEOREMA DE TALES E SEGMENTOS PROPORCIONAIS

teorema de tales

Pelo Teorema temos que



Exemplo 1

Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomínio, o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

Com base na planta devemos calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.






Exemplo 2

Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.
Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicando o Teorema de Tales, temos:

Segmentos Proporcionais

Sejam os segmentos :
__ ''''__
AB e CD

---------5cm--------
a l----------------l b
---------8cm--------
c l----------------l d

* a Razao de AB para CD será :
__
AB é igual a =
CD

5
8

* A razao de CD para AB será :
__
CD =
AB

8
5


PRÉ REQUISITOS PARA ESSE ASSUTO
RAZÃO E PROPORÇÃO
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO

Equações fracionarias redutiveis a uma equação do 2° grau

Equações fracionárias são todas as equaçoes que possuem incógnitas no seu denominador.
.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

»

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

b ) e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:

Eliminando os denominadores:

» » »

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

Equação Irracional

Equação Irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações irracionais:

4)

Resolver a equação:

1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher um deles e isolar.

2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.

3º passo: Resolvemos a equação.

Se na primeira vez que elevarmos a equação ao quadrado, continuar a existir a raiz quadrada, ela deve ser isolada e a equação será novamente elevada ao quadrado tantas vezes forem necessárias até que não exista mais nenhum radical.

4º passo: Verificar ,Esta verificação consiste em substituir na equação original os valores de x obtidos.

Observe:

Notamos que 1 é solução da equação mas 6 não é, assim sendo:

S={1}

Equaçao Biquadrada

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada
(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x.

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x' e x''

a = 1 b = -10 c = 9

∆ = b² – 4ac
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64

x = - b ± √∆
2a

x = -(-10) ± √64
2 . 1

x = 10 ± 8
2

x’ = 9

x” = 1

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x.

Para x = 9
y² = x
y² = 9
y = √9
y = ± 3


Para x = 1
y² = x
y² = 1
y = √1
y = ±1

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-3, -1, 1, 3}.